本文摘要：注重知識生成過程的教學，在建立新內容的知識結構和方法結構上，關注學生已有數學知識的基礎，充分體現從學生已有經驗出發的理念;在課堂上，讓學生享有充分的獨立思考的時間和空間，能充分發表自己的見解;教師通過恰當的問題，引導學生主動思維、獨立思考，
注重知識生成過程的教學，在建立新內容的知識結構和方法結構上，關注學生已有數學知識的基礎，充分體現“從學生已有經驗出發”的理念;在課堂上，讓學生享有充分的獨立思考的時間和空間，能充分發表自己的見解;教師“通過恰當的問題，引導學生主動思維、獨立思考，使學生經歷完整的學習過程，引導學生在已有認知基礎上，通過積極主動的思維而將新知識內化到自己的認知結構中去”學生碰到困難時，教師適時地介入學生的交流和探究活動，和學生形成數學學習的共同體。因此，強調知識的生成過程是實現數學教學根本目的的最佳途徑。
《數學通訊》創刊于1933年1月，是我國創辦最早的中等數學期刊，她幾經風雨，歷盡滄桑，至今已走過了70多年的歷程。連續三屆榮獲北大核心期刊：北大核心期刊(2000)、北大核心期刊(1996)、北大核心期刊(1992)。
義務教育數學課程標準注重過程性目標，用經歷、體驗、探索等詞匯刻畫學生的數學活動水平，強調使學生經歷數學知識的產生和發展過程，在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等方面得到全面發展。筆者認為，正確把握數學課標的這一理念，就是要從數學的學科特點和學生認知特點出發，以數學教材為基本依據，
挖掘數學知識所蘊涵的教育資源，為學生設計一個數學活動經驗積累和數學知識自我建構的過程，使他們在數學知識的理解和應用的過程中，
不斷激發數學學習的興趣，提升數學思維，培養創新精神和實踐能力。本文將在闡釋數學知識生成過程含義的基礎上，著重討論“過程性”教學的實踐問題。
-、數學知識生成過程的認識
數學知識是客觀事物在數與形方面的特征與聯系在人腦中的能動反映。“數學知識是人類認識的一種成果，包括人對周圍事物‘數’與4形’方面的經驗和‘有秩序的論理體系’兩個方面。當前，人們把數學知識分為明確知識(如數學事實、數學原理等)和默會知識(如數學思想方法、解決問題的策略等)。”[1]數學知識不僅表現為數學概念、定理、法則、公式等“陳述性知識”，還表現為數學思想方法等“程序性知識”。M(m把數學知識分為陳述性知識和程序性知識，是對數學知識本質理解的深化。實際上，數學概念、定理、公式、性質、法則等陳述性知識中蘊涵著豐富的數學思想方法;而數學思想方法是建立在數學概念、定理、法則、公式之上的，如果沒有數學的基本事實、基本原理、基本概念，也就談不上什么數學思想方法。
傳統上，數學教科書更關注知識的邏輯結構，強調定義的準確性、邏輯的嚴密性等，常常以一種學術化的、確定的方式呈現，對知識的發生發展過程以及學生的主體活動重視不夠。新一過欄目創新，設置了大量的數學知識可生成素材。教師“創造性地使用教材”，就是要結合當地的教學條件，從學生的年齡特征和認知基礎出發，將教材提供的素材轉化為現實的知識生成過程，經過課堂教學實施，實現學生對數學知識的“知其源(追溯源頭)、會其神(領悟本質)、通其用(感受價值)”的實踐活動。下面以“數軸”概念的教學設計為例給予說明。
案例1“數軸”概念教學片段
[生活情景]
在一條東西向的馬路上，有一個汽車站，汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫出圖表示這一情境。
[獨立研究]
學生結合自己巳有的知識對問題進行分析、比較，教師注意在學生獨立研究時進行巡視指導，關注他們畫圖的方法。
[問題思考]
怎樣用數簡明地表示這些樹、電線桿與汽車站的相對的位置關系(方向與距離)?(概括共同本質特征得到概念的本質屬性)
[教師評析]
教師組織學生進行討論，對研究情況進行分析、評價。在學生研究、交流后展示：
如圖1，為了使表達清楚，從相反意義的量的關系看，可以把點O左右兩邊的數分別用負數和正數表示。再讓學生對以正、負數表示的實際意義給予分析。
像這樣，“帶有數據的直線”還有很多，如直尺、彈簧秤、溫度計(如圖2)等。
[數學建模]
圖2中的溫度計可以看作是表示正數、0和負數的直線嗎?它與圖1中的直線有什么共同點，有什么不同點?
(學生結合兩個圖形的共同點進行比較、圖2思考，教師注意對學生的比較情況給予評價。)
共同點：都是一條直線，都有表示方向的箭頭，都有表示相反意義的兩種量的數據：正數、負數。
不同點：一條直線是水平的，另一條是豎直的，所表示的數據的刻度長度不一樣。
教師引導學生從兩個問題的圖形中尋找共同本質特征，可以得到圖3。
數軸的概念：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。原點、正方向和單位長度是數軸的三要素。
數軸的畫法：師生共同總結畫數軸的步驟。
一般而言，注重知識生成過程的概念教學應經歷以下環節：(1)背景引人;(2)通過典型豐富的具體事例(盡量讓學生自己舉例)，引導學生展開分析、比較、綜合等活動;(3)概括共同本質特征，得到概念的本質屬性;(4)下定義(用準確的數學語言表達);(5)概念的辨析;(6)用概念作判斷的具體事例;(7)概念的精致。
(三)生成性資源的捕捉數學教學是思維的教學。“在數學教學中高超地捕捉學生思維的閃光點(課堂中生成的資源)的能力是教師教學水平的集中體現。”“在教學中，如果教師能及時發現即時生成的教學資源，并通過恰當的問題激發學生進一步思考，就能有效地促進學生的數學理解。”[1]要使學生真正理解數學，必須讓他們在親歷親為的探索中獲得體驗。由于學生的個體差異，常常會出現個性化的語言、直覺結論、典型錯漏、新奇構思、靈感、討論碰撞等所形成的智慧火花，這些都是生成性知識的重要源泉。教師要隨著學生思維的拓展、心態的逆轉和情緒的波動，敏銳把握各種教育契機，捕捉課堂中出現的問題、疑難、困惑、創新(甚至是意外)等生成性資源，適時加以引導、深化，創造性地加以重組，以形成新的數學知識生長點。
下面是“三角形的內角”生成性資源捕捉的教學案例。
案例2-點鎖定180°
[探究新知]
(1)情景、設疑
師：同學們回憶一下，我們在小學是用什么方法來驗證“三角形的內角和等于180度”的?
(2)剪紙、拼圖
生1:用量角器量各個內角的度數，計算它們的和，得出結論。
生2:用撕拼的方法，將三角形中的兩個角剪下，拼在第三個角旁，看是否構成平角。
生3:用折紙的方法，將三個角折疊到一起。
師：上面三名同學為我們提供了驗證的方法。下面我們以小組為單位進行驗證，驗證完后請同學代表你們的小組上來展示驗證方法。
生4:我們用兩種方法進行驗證：
一種方法是測量法，如圖4，分別測得ZA=58°,^B=62°,ZC=60%這樣就有：ZA+ZB+ZC=58°+62o+60o=180°;
另一種方法是剪拼法，如圖5，將ZA、剪下拼到點C處，可以得到ZA+ZB+ZC=180。。
師：在圖5中你怎樣判斷ZA+ZB+ZC=180。?
它們拼成了一個平角。
生6:我們小組也是用剪拼的方法，不過拼的方法和他們的不一樣。這是我們拼的圖形(如圖6)，ZA、ZB,ZC也拼成了一個平角。
生7:我們小組是這樣拼的，只把移動拼在ZC處(如圖7)。根據兩直線平行，同旁內角互補，可得到?.ZA+ZB+ZC=180°。
(3)發現、生成
師：好，數學結論正確性是要建立在推理基礎上的。上述實驗結果是否可靠，還需要加以證明。剛才的拼圖過程已經為我們提供了證明思路和方法，請把你們的方法由來及證明方法在小組內說說。再請一名同學代表你們小組進行“學術報告”。在匯報結束后，我們針對他的方法和依據提出問題，然后請做匯報的同學答辯。
生8(第6小組的代表)：過點C作CD//AB,延長BC到E，證明過程如下：
因為Z1-Z：A，Z2=ZB,所以ZA+ZB+ZC=180。。
生9:生8的說理過程有問題，以下是我們小組的說理過程：
因為CD//AB，所以Z1=ZA(兩直線平行，內錯角相等)，
Z2=Z-B(兩直線平行，同位角相等)，又因為2八(^+幺1+幺2=180°(平角意義)，所以
師：不錯，補充以后因果關系就比較清楚了。老師還有一個疑問，你是怎樣想到過點C作AB的平行線CD的?
生8:由圖5的拼法可以發現：把ZA剪下并拼到點C處時，得到ZA=ZA，根據內錯角相等，可以得到兩直線平行;反過來，如果兩直線平行，那么ZA=ZA，就相當于把ZA剪下并拼到點C處。這樣，我們就得到圖8的作平行線方法。
師：你們很善于借助拼圖中的經驗，如果不作平行線呢?
生10:如圖9，我直接在點C處以點C為角的頂點，CA為角的一邊，在三角形外畫Zl=ZA。理由如下：
因為Z1=ZA，所以CD//AS(內錯角相等，兩直線平行)。
因為CD//AB，所以=(兩直線平行，同位角相等)。
所以ZA++ZC=Zl+Z2+ZACB=180。。
師：好!其他小組還有別的方法嗎?
生^(第4小組的代表)：我們受圖6的啟發，過點C畫EF//AB，如圖10。這樣相當于把ZA、拼在ZC的兩旁。理由為：
因為EF//AS，所以Z1=ZA，
Z2=ZB(兩直線平行，內錯角相等)。
所以ZA+ZB+ZC=Z1+Z2十ZACB=180。。
生12：(第1小組代表)：我們受拼圖7的啟發，如圖11，
過點C作CD//AB。理由如下：
因為CD//，所以+ZBCD=180°(兩直線平行，同旁內角互補)。
所以ZA+ZB+ZACB=180°。
生13:我認為生13的說理不夠準確。應在第一個“所以”后加上“zacd=za(兩直線平行，內錯角相等)”。
師：我有點佩服大家了(學生笑)，不僅能從拼圖中發現方法，采用不同的途徑證明“三角形的內角和等于180度”(板書)，而且道理也講得明白。
(4)拓展、探究
由于平行線這種輔助線作法在平面幾何中有著很重要的應用，教師抓住時機，提出問題。
師：有人說“過平面上任一點作三角形邊的平行線均可證明三角形內角和結論”，你們認為行嗎?
一石激起千層浪，此時，學生已發現過三角形的頂點作對邊的平行線可達目的。學生在學習小組內展開了積極的討論，嘗試過其他點畫平行線，不一會兒就有學生舉手。
生3:如囹12，在BC上任意取一點P，作PE//AC,PD//AB。說理過程如下：
因為PD//AB，所以=ZA=Z2(兩直線平行，同位角相等)。
因為PE//AC，所以=(兩直線平行，同位角相等)。
Z4=Z2,(兩直線平行，內錯角相等)。所以ZA+ZB+ZC=Z3+Z4+Z1=ZBPC=180°o
生u(第2小組的代表)：如圖13，在AABC的內部任取一點P，
分別作MV//BC、PD//AB、尸E/MC。因為MN//BC,所以ZAMN=ZB,ZANM=ZC(兩直線平行，同位角相等)。
接下來就可以轉化為生3的證明方法了。
生15(第3小組的代表)：在AABC外任取一點P，如圖14所示，分別作MN//BC交AB、AC的延長線于點M、N,作PD//AB、PE//AC^\\交AC，AB于點Z)，E。
證明方法和生14的方法差不多。
在學生解決問題之后，教師提出一個更能激發學生繼續研究的問題，引導學生進入到新的研究境地，學生在這個研究境地中發現的就不再是一招一試的解決問題的方法，而是通過合作研究，發現不同的解決問題的方法之間的轉化所在。讓學生“身不由己”經歷從“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的過程。
(5)歸納、升華
師：大家都研究好了，那么，如何把我們研究的方法歸納一下呢?
生:我認為從作平行線的點的位置分類歸納好些，可分三種情況：點在三角形邊上;點在二角形內;點在二角形外。
師：好!請一個同學把剛才的方法歸納一下。
生17:我們發現過三角形所在平面內的任意一點作三角形邊的平行線，均可達到目的：
①如果過三角形的頂點做平行線，只需作一條平行線即可，如圖8，圖10，圖11的情形;
�、谌绻^三角形一邊上一點作平行線(頂點外，含邊的延長線上的點)，需作兩條平行線，如圖9的情形：
③如果過三角形內或外一點作平行線，需作三條平行線，如圖13、圖14的情形。
師：通過以上各種方法的研究，我給你們的研究方法概括為：一點“鎖定”180度。
正當教師準備結束三角形內角和結論的論證時，又有一個學生把手高高舉起了。
生18:我們發現過三角形的任一頂點作平行線也可論證。下面是論證過程：
如圖15，在BC：上取點D，連接AD,過點B,C’分別作B?：//AD，CF//AD,
因為BE//AD，CF//AD,所以BE//AD//CF,
所以Z1=Z3，Z4=Z2(兩直線平行，內錯角相等)，
ZEBC+ZFCB=m°(兩直線平行，同旁內角互補)。
又因ZBAC=Z3+Z4,所以ZABC十ZBAC+ZACB=m°,即180。。
師：很好!這種方法是正確的，我都沒有想到這樣的方法，看來研究這個問題的方法還是很多的，相信同學們一定還能發現其他方法。課后繼續在小組內研究交流，好的方法告訴老師。
通過教師的引導，把學生研究的方法加以歸納總結，學生研究問題的思想方法就不再是零散的、單一的，而是“多法合一同時，也點燃
?100?
了學生思維的火花，為今后多邊形內角和的論證提供了方法上的借鑒。
在捕捉生成性資源時，上述課例強調了學生已有的知識背景(三角形內角和的知識)，學生的實踐活動(動手剪拼)，學生的抽象概括(由剪拼圖抽象成幾何模型)，學生的知識遷移(由幾何模型到輔助線的作法)，學生的思維發散(強調聯系、聯想)，滲透數學思想(分類、化歸、一般與特殊)。
(四)生成性評價的構建
生成性評價的目的主要是對學生在數學學習過程中表現出的行為和狀態進行調控。生成性評價活動與學生的數學學習活動融為一體，與教學過程同步進行，關注學生在教學活動中的表現，為改進教學進程提供即時信息。生成性評價的構建依托數學知識生成過程來進行定位，從數學知識的生成性教學目標的確定步人，在課堂實施環節中，對教學內容(數學知識)的生成性預設與實踐進行評價，突出課堂活動中師生互動形成的生成性資源的評價。這樣.教學評價不僅關注了知識的形成過程，關注了課堂師生教學活動，而且能用發展的眼光關注生成性資源的構建，從學生主體發展角度進行評價，落實全面發展的教學評價目標。
基于此，在生成性評價構建中應主要突出以下幾個重要環節。
1.關注學生在生成過程中的思考方法和思維習慣的評價
作為教師，要從數學知識的生成性教學目標確定那一刻起，就應引導學生對數學的思考和理解，關注學生的思考問題的方法和思維習慣。不應只關注是否記住了某些公式、定理以及是否獲得了某個數學問題的解答。只有加強對學生思考方法和思維習慣的關注，學生才會在教師指導下，對數學問題才會刨根問底、獨立思考，激活創新思維，于“無意識”中迸發出“生成性”火花。
2.關注學生在生成過程中發現問題和提出問題能力的評價
善于從相關學習材料中發現問題，并通過抽象、概括提出問題的能力，更能體現學生探究能力、實踐能力和創新思維能力和水平。在生成性評價中，要對學生發現和提出問題的能力進行評 價，關注他們發現與提出問題的積極性和自信心，借助評價引導學生學會欣賞他人“發現”的結果，并逐漸形成“追問”和“質疑”的意識。這樣，才能為生成性資源創設“迸發’’的空間。
3.關注學生在生成過程中數學表達和交流能力的評價
數學表達和交流能力包括敘述能力、判斷能力、質疑能力和釋疑能力等。在數學知識生成過程教學活動中，教師引導學生進行數學表達和交流活動是十分重要的，在生成性評價中關注學生的數學表達和交流能力的評價，能引導學生大膽展示自己，主動參與與他人合作、交流的活動，正是在這樣的個體和群體的互動中，學生往往會以意想不到的“表現”表達和闡述自己獨到的見解，彌補教材中無法呈現的生成性資源。
4.關注學生在生成過程中不斷反思和改進能力的評價
在探究新知識生成的學習過程中的反思和改進能力，能夠加深學生對數學核心知識的理解和掌握，有利于培養學生的批判性思維、創造性思維等高層次思維能力。我們可以借助數學知識生成過程的學習活動，預設“反思和改進”的活動過程，引導學生參與其中，內置一個個師生、生生、生本等交流與互動效果的評價過程，在有層次、有節奏、重參與、重發展的動態評價模式下，促使生成性評價的動態性、發展性等效能的實現。
三、結束語
通過對數學知識生成過程教學的探索與實踐，我們深刻地體會到，數學教學既要關注數學知識的發生發展過程，又要關注數學結論(結果)。數學教學的根本目的在于豐富學生的數學知識，發展學生的數學思維，提高學生的數學能力，培養學生的理性精神，讓學生學會發現問題、提出問題、研究問題和解決問題，并在研究和解決問題過程中掌握思考問題的數學思想、數學方法。
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